定義と定理がわからないと
解けない問題もある。
＝証明＝
😲
中2 数学
こんにちは。
静岡学習塾の西ヶ谷です。
('ω')ノ
定義と定理、
別のブログでもお話しを
させていただきましたが、
この２つの言葉は、
何か似ていますが、
もちろん別物です。
そして、
これがわかってないと
解けない問題もあります。
😲
数学が苦手で当塾に
入られた生徒さんに、
定義と定理について
知っているかを聞いてみた
ところ、
「よくわかりません😞」
とのことでした。
この生徒さん、
特に証明については
苦手（意識が強いのでは❓）
のようです。
そのお返事を聞いて、
私は内心「やっぱりな」
と思いました。
定義と定理がわからない
ということは、
それだけでできない証明問題が
あるからです。
😞
さて、定義と定理を
おさらいしてみましょう。
👐
定理とは
「用語や記号の意味を
はっきり述べたもの」
定義とは
「証明されたことがらのうち、
よく使われるもの」
とのことでしたね。
😌
ところが、この言葉、
何を書いてあるのかは
わかりますが、
具体的な
イメージがつきにくい
と思うのは、私だけ❓
おそらく、
多くの生徒さんが
このわかるようで
わからない言葉に
翻（ほん）ろうされて、
結局理解ができずに
敬遠してしまい、
結局、苦手まっしぐらに
なってしまうんでは
ないでしょうか？
そこでご提案させて
いただいたのが、
以下のように解釈して
みては❓
ということでした。
定義
「〇〇とはなにか❓」
の〇〇にあたるもの。
定義
定義から生まれた特徴。
う～ん、
ますますわかんなく
なっちゃうかな❓❓❓
そんじゃあ、例を挙げてみましょう。
二等辺三角形なら、
定義
二等辺三角形とは❓❓❓
「2辺が同じ長さの三角形」
のことを言う。
定理
2辺が等しい三角形は❓❓❓
「2角が同じ大きさの三角形」
になる。
定義から定理が生まれている、
定義がないと定理はない。
これが定義と定理の関係。
そーいうこと☝
さあ、
それでは、先ほどの生徒さんが
固まってた💧問題を
ご紹介して、
それを
くわしい解説をしながら
解いていきます。
All right！
Let’s get started!
(さあ、始めましょう）
【問題】
次の定理を証明しなさい。
「二等辺三角形の２つの底角は等しい。」
これが問題です。
ここで、定理という言葉が
出てきました。
定理の言葉の意味を
知らなくても
解くことはできますが、
「知らない」というだけで、
「やっぱりできないのでは」と
もう精神的にはマイナスの
イメージしかありませんね。
また、この問題では
二等辺三角形の定義である
「２つの辺が等しい」
を使わないと解くことが
できません。
定義は、もう最初から
決まっている条件なので、
「無条件」で使うことができます。
だから、この問題は
二等辺三角形の定義を
知らないとできません。
このように
「定理」を証明する
問題となると、
普段は、「定理より・・・」
〇〇＝🔺🔺・・・①
としてもいいんですが、
ここでは
説明するもの自体が
定理なので、
他の「定理」を持ち出して
あーだこーだと言うわけにも
いきません。
さあ、
というわけで問題を
解いていきたいと思います。
「二等辺三角形の２つの底角は等しい」
定理の証明
って❓❓❓
それでは。
「二等辺三角形の２つの底角は等しい」
という『定理』の証明を
していきたいと思います☝
中には、
こんなことを内心思っている
人もいるんじゃないかと
思います☟
「二等辺三角形の
２つの底角が等しい」なんて
初めっからわかってる
ことじゃない❓❓❓
って
（参考：添付のホワイトボード）
自分たちが普段普通に
考えている二等辺三角形は、
2辺が等しい、
そして
2角が等しい、
三角形なんだと思います。
そりゃ、もちろん、
あたりまえなんですが、
数学のルール上、
二等辺三角形とは2辺が等しい
三角形のことを
いうのであって、
2角が等しいのは、
そこから生まれてきた
特徴に過ぎない、
ということなんです。
だから、もしも、
「2角が等しい三角形を
二等辺三角形という」
というのが定義であれば、
（いうなれば「二等角三角形」
になるかな。）
それは、
最初から決まってる
約束事なので、
そんなの証明しようが
ないのです。
だから、この
「二等辺三角形の２つの底角は等しい」
ということを証明するって
いうのは、
別に、おかしい問題では
ないのです。
このあたりのことが
整理ついてない生徒さんって、
実は結構多いんじゃないかな
と思います。
さて、実際の問題の解答に入ります。
【ポイント】
２つの角が等しいことを証明するためには・・・
👇
１．それらを含む三角形の合同を考える。
２．２つの三角形が合同なら、
対応する角が等しいので、
２つの角はそれぞれ等しい。
と、話しをもっていく。
また、この問題では
最初から図形が示されていません。
そんな場合には、
自分で△ABCを作る。
（じゃないと、手も足も出ない）
（最初から図が示されている
問題が多いですが、
こんな問題もあります😞）
【解答】
※（ ）内の言葉は実際には
答案に書かない解説です。
二等辺三角形は2辺が等しいので
（問題文には直接書かれていない
隠れた仮定）
△ABCにおいて、
AB＝ACとする。
∠Aの二等分線とBCとの
交点をDとする。
（２つの三角形をつくって、
これから２つの三角形の合同を
証明します）
△ABDと△ACDにおいて、
仮定から、
AB＝AC …➀
（これは二等辺三角形の定義）
ADは∠Aの二等分線なので、
∠BAD＝∠CAD …➁
（自分でつくった条件）
ADは共通 …➂
（AD＝ADという書き方でもOK)
➀➁➂より、
2組の辺とその間の角が
それぞれ等しいので、
△ABD≡△ACD
（ここで終わりじゃない！
△の合同を証明せよ
という問題ではないので）
よって、
対応する角は等しいので、
∠B＝∠C
（三角形の合同を利用して
角が等しいことを証明した）
したがって、
二等辺三角形の２つの底角は等しい。
（結論を必ず忘れずに書く。
それが最終目的だから。）
証明おわり （Q.E.D.）
三角形の2角が等しいのは定理です。
そして、定理はすでに
わかっていることとして、
定義のように利用していいことに
なっています。
だから、定理＝仮定として
活用していいことになります。
ただし、その定理を証明せよ
という問題になったら、
そうではなくなります。
ややっこしいと
思うかもしれませんが、
ここはキッチリ理解して
おかないといけないところです。
三角形においては、
2辺が等しかったら
2角は等しい、
ことが証明されましたが、
これとは別に
2角が等しかったら
2辺が等しい、
ことも証明ができます。
三角形なら
2辺が等しい⇔2角が等しい
となります。☝
以上、二等辺三角形の
定理の証明問題を解きました。
証明が苦手な人は、
じっくりと考えて理解して、
実際に問題をやってみて
くださいね。
💁♂️💁♀️
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